高等数学 2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数

news/2024/10/5 23:53:15

目录
  • 一、隐函数求导
  • 二、由参数方程所确定的函数的导数
  • 三、相关变化率

一、隐函数求导

函数 \(y = f(x)\) 表示两个变量 \(y\)\(x\) 之间的对应关系,这种对应关系可以用各种不同方式表达,例如 \(y = \sin x\)\(y = \ln x + \sqrt{1 - x^2}\) 等。这种函数表达方式的特点是:等号左端是因变量的符号,而右端是含有自变量的式子,当自变量取定义域内任一值时,由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样,例如,方程

\[x + y^3 - 1 = 0 \]

表示一个函数,因为当变量 \(x\)\((- \infty, \infty)\) 内取值时,变量 \(y\) 有确定的值与之对应。例如,当 \(x = 0\) 时,\(y = 1\) ;当 \(x = -1\) 时,\(y = \sqrt[3]{2}\) ,等等。这样的函数称为隐函数

一般地,如果变量 \(x\)\(y\) 满足一个方程 \(F(x, y) = 0\) ,在一定条件下,当 \(x\) 取某区间内任一值时,相应地总有满足这一方程的唯一的 \(y\) 值存在,那么就说方程 \(F(x, y) = 0\) 在该区间内确定了一个隐函数。

把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化。例如从方程 \(x + y^3 - 1= 0\) 解出 \(y = \sqrt[3]{1 - x}\) ,就把隐函数化成了显函数。隐函数显化有时是困难的,甚至是不可能的。但在实际问题中,有时需要计算隐函数的导数,因此,我们希望有一种方法,不管隐函数能否显化,都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数。下面通过具体例子来说明这种方法。

例1 求由方程 \(\mathrm{e}^y + x y - \mathrm{e} = 0\) 所确定的隐函数的导数 \(\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) .
解:我们把方程两端分别对 \(x\) 求导,注意 \(y = y(x)\) 。方程左端对 \(x\) 求导得

\[\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\mathrm{e}^y + x y - \mathrm{e}) = \mathrm{e}^y \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y + x \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} , \]

方程右端对 \(x\) 求导得

\[(0)' = 0. \]

由于等式两端对 \(x\) 的导数相等,所以

\[\mathrm{e}^y \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y + x \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0, \]

从而

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \cfrac{y}{x + \mathrm{e}^y} \quad (x + \mathrm{e}^y \neq 0) \]

在这个结果中,分式中的 \(y = y(x)\) 是由方程 \(\mathrm{e}^y + x y - \mathrm{e} = 0\) 所确定的隐函数。

例2 求由方程 \(y^5 + 2y - x - 3 x^7 = 0\) 所确定的隐函数在 \(x = 0\) 处的导数 \(\left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 0}\) .
解:把方程两端分别对\(x\) 求导,由于方程两端的导数相等,所以

\[5y^4 \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 2 \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 1 - 21 x^6 = 0 . \]

由此得

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{1 + 21 x^6}{5 y^4 + 2} . \]

因为当 \(x = 0\) 时,从原方程的 \(y = 0\) ,所以

\[\left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 0} = \cfrac{1}{2} . \]

例3 求椭圆 \(\cfrac{x^2}{16} + \cfrac{y^2}{9} = 1\) 在点 \(\left( 2, \cfrac{3}{2} \sqrt 3 \right)\) 处的切线方程。
解:由导数的几何意义可知,所求切线斜率为

\[k = \left . y' \right|_{x = 2} . \]

椭圆方程的两端分别对 \(x\) 求导,有

\[\cfrac{x}{8} + \cfrac{2}{9} y \cdot \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 . \]

从而

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \cfrac{9 x}{16 y} . \]

\(x = 2\) 时,\(y = \cfrac{3}{2} \sqrt 3\) ,代入上式得

\[\left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x = 2} = - \cfrac{\sqrt 3}{4} . \]

于是所求切线方程为

\[y - \cfrac{3}{2} \sqrt 3 = - \cfrac{\sqrt 3}{4}(x - 2) , \]

\[\sqrt 3 x + 4y - 8 \sqrt 3 = 0. \]

例4 求由方程 \(x - y + \cfrac{1}{2} \sin y = 0\) 所确定的隐函数的二阶导数 \(\cfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}x^2}\) .
解:应用隐函数的求导方法,得

\[1 - \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \cfrac{1}{2} \cos y \cdot \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 \]

于是

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{2}{2 - \cos y} . \]

上式两端再对 \(x\) 求导,得

\[\cfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}x^2} = \cfrac{-2 \sin y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{(2 - \cos y)^2} = \cfrac{-4 \sin y}{(2 - \cos y)^3} . \]

上式右端分式中的 \(y = f(x)\) 是由方程 \(x - y + \cfrac{1}{2} \sin y = 0\) 所确定的隐函数。

在某些场合,利用所谓的对数求导法求导数比通常的方法简便些。这种方法是先在 \(y = f(x)\) 的两端取对数,然后再求出 \(y\) 的导数。

例5 求 \(y = x^{\sin x} (x > 0)\) 的导数。
解:这函数是幂指函数。为了求这个函数的导数,可以先在等式两端取对数,得

\[\ln y = \sin x \cdot \ln x . \]

上式两端对 \(x\) 求导,注意到 \(y = y(x)\) ,得

\[\cfrac{1}{y} y' = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \cfrac{1}{x} , \]

于是

\[y' = y \left( \cos x \cdot \ln x + \cfrac{\sin x}{x} \right) = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln x + \cfrac{\sin x}{x} \right) \]

对于一般型式的幂指函数

\[y = u^v \quad (u > 0) , \]

如果 \(u = u(x)\)\(v = v(x)\) 都可导,那么可以像例5那样利用对数求导法求出幂指函数的导数,也可把幂指函数表示为

\[y = \mathrm{e}^{v \ln u} . \]

这样便可直接求得

\[y' = \mathrm{e}^{v \ln u} \left( v' \cdot \ln u + v \cdot \cfrac{u'}{u} \right) = u^v \left( v' \cdot \ln u + \cfrac{v u'}{u} \right) \]

例6 求 \(y = \sqrt{\cfrac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 3)(x - 4)}}\) 的导数。
解:先在等式两端取对数(假定 \(x > 4\)),得

\[\ln y = \cfrac{1}{2} [\ln(x - 1) + \ln(x - 2) - \ln(x - 3) - \ln(x - 4)] , \]

上式两端对 \(x\) 求导,注意到 \(y = y(x)\) ,得,

\[\cfrac{1}{y} y' = \cfrac{1}{2} \left( \cfrac{1}{x - 1} + \cfrac{1}{x - 2} - \cfrac{1}{x - 3} - \cfrac{1}{x - 4} \right) \]

于是

\[y' = \cfrac{y}{2} \left( \cfrac{1}{x - 1} + \cfrac{1}{x - 2} - \cfrac{1}{x - 3} - \cfrac{1}{x - 4} \right) . \]

\(x < 1\) 时,\(y = \sqrt{\cfrac{(1 - x)(2 - x)}{(3 - x)(4 - x)}}\) ;
\(2 < x < 3\) 时,\(y = \sqrt{\cfrac{(x - 1)(x - 2)}{(3 - x)(4 - x)}}\) ,
用同样的方法可得与上面相同的结果。

二、由参数方程所确定的函数的导数

一般地,若参数方程

\[\begin{equation} \left\{ \begin{array}{c}x = \varphi (t) \\y = \psi (t) \end{array} \right. \end{equation} \]

确定 \(y\)\(x\) 间的函数关系,则称此函数关系所表达的函数为由参数方程 \((1)\) 所确定的函数。

在实际问题中,需要计算由参数方程 \((1)\) 所确定的函数的导数。但从 \((1)\) 中消去参数 \(t\) 有时会有困难。因此,我们希望有一种方法能直接由参数方程 \((1)\) 算出它所确定的函数的导数。

\((1)\) 中,如果函数 \(x = \varphi (t)\) 具有单调连续反函数 \(t = \varphi^{-1}(x)\) ,且次反函数能与函数 \(y = \psi (t)\) 构成复合函数,那么由参数方程 \((1)\) 所确定的函数可以看成是由函数 \(y = \psi (t)\)\(t = \varphi^{-1}(x)\) 复合而成的函数 \(y = \psi[\varphi^{-1} (x)]\) .现在要计算这个复合函数的导数。为此,再假定函数 \(x = \varphi (t)\)\(y = \psi (t)\) 都可导,而且 \(\varphi' (t) \neq 0\) 。于是根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则,就有

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \cfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \cfrac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \cfrac{\psi' (t)}{\varphi' (x)} , \]

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\psi' (t)}{\varphi' (x)} \tag{2} \]

上式也可以写成

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} . \]

\((2)\) 式就是由参数方程 \((1)\) 所确定的 \(x\) 的函数的导数公式。

如果 \(x = \varphi (t)\)\(y = \psi (t)\) 还是二阶可导的,那么从 \((2)\) 式又可以得到二阶导数公式

\[\cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) = \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \cfrac{\psi' (t)}{\varphi' (t)} \right) \cdot \cfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\psi''(t) \varphi' (t) - \psi' (t) \varphi'' (t)}{\varphi'^2 (t)} \cdot \cfrac{1}{\varphi' (t)} . \]

\[\cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \cfrac{\psi''(t) \varphi' (t) - \psi' (t) \varphi'' (t)}{\varphi'^3 (t)} . \]

例7 已知椭圆的参数方程为

\[\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{c}x = a \cos t , \\y = b \sin t , \end{array} \right. \end{equation*} \]

求椭圆在 \(t = \cfrac{\pi}{4}\) 相应的点处的切线方程。
解:当 \(t = \cfrac{\pi}{4}\) 时,椭圆上相应的点 \(M_0\) 的坐标是

\[\begin{align*} x_0 &= a \cos{\cfrac{\pi}{4}} = \cfrac{\sqrt 2 a}{2} , \\ y_0 &= b \sin{\cfrac{\pi}{4}} = \cfrac{\sqrt 2 b}{2} . \end{align*} \]

曲线在点 \(M_0\) 的切线斜率为

\[\left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{t = \frac{\pi}{4}} = \left . \cfrac{(b \sin t)'}{(a \cos t)'} \right|_{t = \frac{\pi}{4}} = \left . \cfrac{b \cos t}{-a \sin t} \right|_{t = \frac{\pi}{4}} = - \cfrac{b}{a} . \]

代入点斜式方程,即得椭圆在点 \(M_0\) 处的切线方程

\[y - \cfrac{\sqrt 2 b}{2} = - \cfrac{b}{a} \left( x - \cfrac{\sqrt 2 a}{2} \right) \]

化简后得

\[bx + ay - \sqrt2 ab = 0 . \]

例8 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为

\[\left\{ \begin{align*} x &= v_1 t, \\ y &= v_2 t - \cfrac{1}{2} \mathrm{g} t^2, \end{align*} \right . \]

求抛射体在时刻 \(t\) 的运动速和方向。
解:先求速度的大小
由于速度的水平分量为

\[\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v_1 , \]

铅直分量为

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = v_2 - \mathrm{g}t , \]

所以抛射体运动速度大小为

\[v = \sqrt{\left( \cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \right)^2} = \sqrt{v_1^2 + (v_2 - \mathrm{g}t)^2} . \]

再求速度的方向,也就是轨迹的切线方向。
\(\alpha\) 是切线的倾角,则根据导数的几何意义,得

\[\tan \alpha = \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \cfrac{v_2 - \mathrm{g}t}{v_1} \]

在抛射体刚射出 \((即t = 0)\) 时,

\[\left . \tan \alpha \right|_{t = 0} = \left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{t = 0} = \cfrac{v_2}{v_1} ; \]

\(t = \cfrac{v_2}{\mathrm{g}}\) 时,

\[ \left . \tan \alpha \right|_{t = \frac{v_2}{\mathrm{g}}} = \left . \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{t = \frac{v_2}{\mathrm{g}}} = 0 , \]

这时,运动方向是水平的,即抛射体达到最高点。

例9 计算由摆线的参数方程

\[\left \{ \begin{align*} x &= a (t - \sin t) , \\ y &= a (1 - \cos t) \end{align*} \right . \]

所确定的函数 \(y = y(x)\) 的二阶导数。
解:

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \cfrac{a \sin t}{a(1 - \cos t)} = \cfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot{\cfrac{t}{2}} \quad (t \neq 2n \pi , n \in \mathbb{Z}) . \]

\[\begin{align*} \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} &= \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \cot{\cfrac{t}{2}} \right) \cdot \cfrac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \\ &= - \cfrac{1}{2 \sin^2{\cfrac{t}{2}}} \cdot \cfrac{1}{a (1 - \cos t)} \\ &= - \cfrac{1}{a (1 - \cos t)^2} \quad (t \neq 2n \pi , n \in \mathbb{Z}) . \end{align*} \]

三、相关变化率

\(x = x(t)\)\(y = y(t)\) 都是可导函数,而变量 \(x\)\(y\) 间存在某种关系,从而变化率 \(\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\)\(\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\) 间也存在一定关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系,以便从其中一个变化率求出另一个变化率。

例10 一气球从离开观察员 \(500 \mathrm{m}\) 处离地面铅直上升,当气球高度为 \(500 \mathrm{m}\) 时,其速率为 \(140 \mathrm{m}/\mathrm{min}\) (米/分)。求此时观察员视线的仰角增加的速率是多少?
解:设气球上升 \(t\) \(s\)(秒)后,其高度为 \(h\) ,观察员视线的仰角为 \(\alpha\) ,则

\[\tan \alpha = \cfrac{h}{500} , \]

其中 \(\alpha\)\(h\) 都与 \(t\) 存在可导的函数关系。上式两边对 \(t\) 求导,得

\[\sec^2 \alpha \cdot \cfrac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d}t} = \cfrac{1}{500} \cdot \cfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} . \]

由已知条件,存在 \(t_0\) 使 \(\left . h \right|_{t = t_0} = 500 \mathrm{m}\)\(\left . \cfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} \right|_{t = t_0} = 140 \mathrm{m}/\mathrm{min}\) .又 \(\left . \tan \alpha \right|_{t = t_0} = 1\)\(\left . \sec^2 \alpha \right|_{t = t_0} = 2\) ,代入上式得

\[\left . 2 \cfrac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d}t} \right|_{t = t_0} = \cfrac{1}{500} \cdot 140 , \]

所以

\[\left . \cfrac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d}t} \right|_{t = t_0} = \cfrac{70}{500} = 0.14 . \]

即此时观察员视线的仰角增加的速率为 \(0.14 \mathrm{rad}/\mathrm{min}\) (弧度/分)。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.ryyt.cn/news/61002.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系我们进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

小林coding学习笔记(内存页面置换算法)

缺页中断示意图1 在CPU里执行一条查找某个页面A的指令,首先是虚拟内存,会到虚拟内存和物理内存的映射关系的页表中查询。 2 页表中不存在需要查找的页面A的有效信息。 3 则触发缺页中断信号给操作系统,操作系统收到缺页中断信号后,就会去磁盘里面查找该页面。 4 操作系统在…

Unity中的三种渲染路径

Unity中的渲染路径 Unity的渲染路径 在Unity里,渲染路径(Rendering Path)决定了光照是如何应用到Unity Shader中的。因此,我们只有为Shader正确地选择和设置了需要的渲染路径,该shader的光照计算才可以被正确执行。 unity中的渲染路径:Forward Rendering Path (向前渲染…

白云龙期货投资-第一讲

# 期货散户投资者常见错误 抄底摸顶,进场无依据,无参照物 小赢大亏(小鸟吃食 大象拉屎资金曲线) 用错误的方法分析行情(金死叉) 过分依赖各种交易软件,公式 持亏损的单子隔夜 死扛(进场条件)期货散户投资者常见错误 抄底摸顶,进场无依据,无参照物 小赢大亏(小鸟吃食 大…

408五级流水线强化课笔记

408强化课录播五级流水线相关内容笔记指令流水线基本概念:简单的概念题 指令流水线基本实现:指令按序发射,按序完成 各种冒险:结合MIPS指令序列分析并处理冒险 超标量和动态流水线:简单的概念题五级流水线 五级流水线的设计是为了通过并行提高处理器的吞吐量。图片来自CSA…

关键字检索分析-案例2:开源代码分析

第一次拿来分析一下开源代码,上效果图代码和文件地址 具体内容参考我前面一篇博客 spring-frameworkredis, redis单个文件非常大mybatis我实话我没有看过这些源码。 之前的博客里的脚本,bug挺多的。可以以gitee这里为主(链接在最上面)。

小林coding学习笔记(进程调度算法)

//进程调度算法 进程调度算法是CPU通过进程调度算法决定某个时刻去调用哪个进程到CPU上运行的算法 1、先来先服务调度算法 每次从就绪队列的队头调度到CPU上运行,直到进程退出或被阻塞,才会继续从队列中调度进程运行。 特点:对短作业不利,对长作业有利,无法平衡短作业与长…

spring mvc详细讲解(前后端分离模式)

在前后端分离模式下,Spring MVC 的作用主要集中在处理后端的业务逻辑和 API 接口,而不再直接管理视图部分。也就是说,Spring MVC 的重点是如何处理客户端的请求并返回数据(通常以 JSON 或 XML 格式),而视图渲染交给前端框架(如 Vue.js、React 等)来完成。 下面是针对前…

关于API淘宝数据接口

在当今数字化商业时代,淘宝作为全球领先的电商平台,提供了丰富的API接口,使开发者能够高效地获取和管理电商数据。淘宝API接口不仅简化了与淘宝平台的交互,还为商家提供了强大的数据支持,帮助他们更好地分析市场趋势、优化店铺运营、提升用户体验。 淘宝API接口概述 淘宝A…